வித்தியாசங்கள் என்ன? ஒரு சார்பின் வித்தியாசத்தை எப்படி கண்டுபிடிப்பது?

பங்குகள் இணைந்து அவற்றின் செயல்பாடுகள் வேறுபட்டவை கணித பகுப்பாய்வின் முக்கிய பகுதியான வேறுபட்ட கால்குலஸின் அடிப்படைக் கருத்துக்களில் ஒன்று . மனிதனின் விஞ்ஞான மற்றும் தொழில்நுட்ப செயற்பாடுகளில் தோன்றிய கிட்டத்தட்ட எல்லா சிக்கல்களையும் தீர்க்க பல நூற்றாண்டுகளாக அவை முன்கூட்டியே இணைக்கப்பட்டிருக்கின்றன.

வேறுபட்ட கருத்து என்ற தோற்றம்

முதல் முறையாக, வித்தியாசமான ஒன்று என்னவென்றால், பிரபலமான ஜேர்மன் கணிதவியலாளர் கோட்ஃபிரைட் வில்ஹெல்ம் லெப்னிஸ் (Gottfried Wilhelm Leibniz) என்ற வித்தியாசமான கால்குலஸின் படைப்பாளர்களில் ஒருவர் (ஐசக் நியூட்டனுடன்). இந்த கணிதவியலாளர்களுக்கு 17 கலை. மிகவும் தெளிவான மற்றும் தெளிவற்ற கருத்தை சில சிறிய சிறிய "தனித்தனி" பகுதியைப் பற்றி அறியப்பட்ட எந்த ஒரு செயல்பாடு பற்றியும் பயன்படுத்தப்பட்டது, இது மிக சிறிய மாறிலி மதிப்பைக் குறிக்கின்றது, ஆனால் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை, செயல்பாட்டின் மதிப்பை வெறுமனே குறைக்க முடியாது. எனவே, செயல்பாடுகளின் வாதங்கள் மற்றும் சார்புகளின் சார்புகள் ஆகியவற்றில் உள்ள infinitesimal அதிகரிப்புகளை அறிமுகப்படுத்துவதற்கு முன்பு ஒரு படிநிலை மட்டுமே இருந்தது, பிந்தைய வகைகளின் அடிப்படையில் இது வெளிப்படுத்தப்பட்டது. மேற்கூறிய பெரிய விஞ்ஞானிகளால் இந்த நடவடிக்கை கிட்டத்தட்ட ஒரே நேரத்தில் செய்யப்பட்டது.

விஞ்ஞானத்திற்கு விரைவான தொழில் மற்றும் தொழில்நுட்பத்தை முன்வைக்கும் இயந்திரங்களின் அழுத்தத்தை நடைமுறைப்படுத்தும் சிக்கல்களை தீர்க்க வேண்டிய அவசியத்திலிருந்து தொடங்குதல், நியூட்டன் மற்றும் லைபினிஸ் ஆகியவை, செயல்பாடுகளை மாற்றுவதற்கான விகிதத்தை (முதன்மையாக ஒரு அறியப்பட்ட போக்குடன் உடலின் இயந்திர வேகத்தை பொறுத்தவரை) கண்டுபிடிப்பதற்கான பொதுவான வழிமுறைகளை உருவாக்கியது, இது போன்ற கருத்துக்களை அறிமுகப்படுத்த வழிவகுத்தது, ஒரு சார்பின் வகைக்கெழு மற்றும் மாறுபாடு என, மற்றும் தலைகீழ் சிக்கலை தீர்க்க வழிமுறை கிடைத்தது, அறியப்பட்ட (மாறி) வேகம் என பாதை கடந்து கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, இது ஒருங்கிணைந்த கருத்து தோற்றத்தை வழிவகுத்தது ஏஎல்ஏ.

லெபினிஸ் மற்றும் நியூட்டனின் எழுத்துக்களில், முதலில் வேறுபாடுகள் வாதங்கள் Δx இன் அதிகரிப்புக்கு விகிதாசாரமானவை எனக் காட்டப்பட்டன, இது செயல்பாட்டின் செயல்பாட்டின் முக்கிய பகுதிகள் Δy, இது வெற்றிகரமாக பிந்தைய மதிப்புகள் கணக்கிட பயன்படும். வேறுவிதமாகக் கூறினால், Δy = y '(x) Δx + αΔx என அதன் derivative வழியாக எந்த புள்ளியில் (அதன் வரையறையின் களத்திற்குள்) ஒரு சார்பின் பெருக்கத்தை வெளிப்படுத்த முடியும் என்பதை அவர்கள் கண்டுபிடித்தனர், அங்கு αΔx எஞ்சியுள்ளது Δx → 0, Δx ஐ விட வேகமாக உள்ளது.

மானசாலலிசத்தின் நிறுவனர்களின் கூற்றுப்படி, வேறுபாடுகள் என்பது எந்தவொரு செயல்பாட்டினை அதிகப்படுத்துவதற்கும் வெளிப்பாடுகளில் முதல் வகையாகும். இதுவரை வரிசைமுறைகளின் வரையறையின் வரையறுக்கப்பட்ட கருத்தாக்கத்தை இன்னும் கொண்டிருக்கவில்லை, அவை வித்தியாசத்தின் மதிப்பு Δx → 0 - Δy / Δx → y '(x) என செயல்படும் வகையிலான வகைக்கெழுவைக் குறிக்கும்.

முக்கியமாக ஒரு இயற்பியலாளராக இருந்த நியூட்டன் போலல்லாமல், கணிதவியல் கருவிகளை உடல் ரீதியான பிரச்சினைகளை ஆராயுவதற்கு துணை கருவியாகக் கருதினார், கணித அளவுக்கு உள்ளுணர்வு மற்றும் புரிந்துணர்வான பெயர்களைக் கொண்ட அமைப்பு உட்பட, இந்த கருவிக்கு லீப்னிஸ் அதிக கவனம் செலுத்தினார். Dy = y '(x) dx, வாதம் dx மற்றும் அவற்றின் விகிதம் y' (x) = dy / dx ஆகியவற்றின் படிவத்தின் சார்பின் சார்பின் வேறுபாடுகளுக்கு பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட குறிப்பேட்டை அவர் முன்மொழிந்தார்.

நவீன வரையறை

நவீன கணிதத்தின் அடிப்படையில் வேறுபாடு என்ன? இது ஒரு மாறியின் அதிகரிப்பு பற்றிய கருத்துடன் நெருங்கிய தொடர்புடையது. மாறி y மதிப்பு y = y _{1 முதல்} , பின்னர் y = y ₂ எனில் எடுத்தால் y y y y ₁ என்பது y இன் அதிகரிப்பு என அழைக்கப்படுகிறது. அதிகரிப்பு நேர்மறையாக இருக்கலாம். எதிர்மறை மற்றும் பூஜ்யம் சமமாக. "Increment" என்ற வார்த்தை Δ, Δy ("delta yerk") படிவத்தின் மூலம் y இன் அதிகரிப்பு குறிக்கிறது. எனவே Δy = y ₂ ─ y ₁ .

Δy = A Δx + α, எனில், எனி = f (x) எனும் தன்னிச்சையான சார்பு மதிப்பு Δ யால் குறிப்பிடப்பட்டால், Δx ஐ சார்பில் இல்லை, அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட x க்கு A = நிலையானது, Δx → 0 Δx ஐ விட வேகமானது, பின்னர் முதல் ("முதன்மை") Δx க்கு நேர் விகிதமாகும், y = f (x) டை அல்லது டி.எஃப் (x) (இது "டி விளையாட்டு", "டி எக்ஸ்ப் எக்ஸ்"). ஆகையால், வேறுபாடுகள் Δx க்கு நேர்மாறான செயல்பாடுகளை அதிகப்படுத்தும் "முக்கிய" கூறுகள் ஆகும்.

இயந்திர விளக்கம்

S = f (t) என்பது தொடக்க நிலையில் இருந்து tctilinearly நகரும் பொருள் புள்ளியின் தூரமாக இருக்கட்டும் (t பாதையில் கழித்த நேரம்). அதிகபட்சம் Δ என்பது நேர இடைவெளியில் Δt புள்ளியின் பாதையின் பாதையாகும், மேலும் ds = f '(t) Δt என்பது ஒரே நேரத்தில் கடந்து போகும் பாதையாகும், இது வேகம் f' (t) . ஒரு infinitesimal Δt க்கு, கற்பனை பாதை DS உண்மையான Δ களில் வேறுபடுகின்றது. நேரம் t இன் வேகம் பூஜ்யமாக இல்லாவிட்டால், புள்ளியின் சிறிய இடப்பெயர்ச்சியின் தோராய மதிப்பை DS அளிக்கிறது.

வடிவியல் விளக்கம்

வரி எல் = f (x) இன் வரைபடமாக இருக்கட்டும். பின்னர் Δx = MQ, Δy = QM '(கீழே உள்ள படத்தைப் பார்க்கவும்). தொடுவானம் MN பிரிவு இரண்டு பகுதிகளாக QN மற்றும் NM ஆகியவற்றைப் பிரிக்கிறது. முதன்மையானது Δx க்கு நேர் விகிதமாகும், QN = MQ ∙ tg (கோண QMN) = Δx f '(x), அதாவது QN என்பது மாறுபாடு dy ஆகும்.

NM இன் இரண்டாவது பகுதி Δx ─ dy; Δx → 0 க்கு, NM இன் நீளம் 'வாதத்தின் அதிகரிப்புக்கு இவ்வளவு விரைவாக அதிகரிக்கிறது, அதாவது, அதன் சிறிய தன்மை Δx ஐ விட அதிகமாக உள்ளது. கருத்தின்படி, f (x) ≠ 0 (tangent OX க்கு இணையாக இல்லை), QM'and QN க்கு சமமானதாகும்; வேறுவிதமாக கூறினால், NM 'மொத்த அதிகரிப்பு Δy = QM' விட வேகமாக (சிறியது பொருட்டு அதிகமானது) குறைகிறது. இந்த படத்தில் (M'kM அணுகுமுறையுடன், பிரிமியம் NM இன் பிரிவு சிறிய அளவிலான QM எனப்படும்).

இவ்வாறு, ஒரு தன்னிச்சையான செயல்பாட்டின் வேறுபாடு வரைபடமாக அதன் தொனியில் உள்ள ஒழுங்கின் அதிகரிக்கும் அளவுக்கு சமமாக இருக்கும்.

உற்பத்தி மற்றும் வேறுபாடு

ஒரு சார்பின் பெருக்கத்திற்கான வெளிப்பாட்டின் முதல் காலத்தின் குணகம் A அதன் derivative f '(x) க்கு சமமாக இருக்கும். இவ்வாறு, பின்வரும் தொடர்பைக் கொண்டுள்ளது: dy = f '(x) Δx அல்லது df (x) = f' (x) Δx.

ஒரு சுயாதீனமான வாதத்தின் அதிகரிப்பு அதன் மாறுபட்ட Δx = dx க்கு சமமாக இருப்பதை அறியலாம். அதன்படி, நாம் எழுதலாம்: f '(x) dx = dy.

வேறுபாடுகளின் (சிலநேரங்களில் "தீர்வு") கண்டுபிடிப்புகள் டெரிவேட்டிவிற்கான அதே விதிகளால் நிறைவேற்றப்படுகின்றன. அவர்களது பட்டியல் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

மேலும் உலகளாவிய என்ன ஆகிறது: வாதம் அல்லது அதன் வேறுபாடு அதிகரிப்பு

இங்கே சில விளக்கங்கள் செய்ய வேண்டும். X என்பது ஒரு வாதமாகக் கருதப்படும் போது மாறுபாடு f '(x) Δx இன் பிரதிநிதித்துவம் சாத்தியமாகும். ஆனால் செயல்பாடு சிக்கலானதாக இருக்கக்கூடும், இதில் x சில வாதத்தின் சார்பாக இருக்கலாம். பின்னர் வெளிப்பாடு f '(x) Δx, மூலம் ஒரு வித்தியாசத்தை பிரதிநிதித்துவம் ஒரு விதி, சாத்தியமற்றது; நேரியல் சார்பு வழக்கு x = இல் + b தவிர.

ஃபார்முலா f '(x) dx = dy, ஒரு சுதந்திர வாதம் x (பின்னர் dx = Δx), மற்றும் t இல் x இன் அளவுரு சார்ந்த சார்பு ஆகியவற்றில், இது ஒரு வித்தியாசத்தை குறிக்கிறது.

உதாரணமாக, 2 x Δx என்ற வெளிப்பாடு y = x ^{2 க்கு} x அதன் மதிப்புத்தன்மையை குறிக்கிறது, x ஒரு வாதம் ஆகும். நாம் இப்போது x = t ^{2 ஐ} அமைக்கிறோம் மற்றும் t வாதம் கருதுகிறோம். பின் y = x ² = t ⁴ .

பின்னர் (t + Δt) ² = t ² + 2tTt + Δt ^{2 பின்வருமாறு} . எனவே Δx = 2ttt + Δt ² . எனவே: 2xDx = 2t ² (2tTt + Δt ² ).

இந்த வெளிப்பாடு Δt க்கு நேர் விகிதமாக இல்லை, எனவே 2xDx என்பது வேறுபட்டது அல்ல. சமன்பாடு y = x ² = t ⁴ இலிருந்து காணலாம். இது dy = 4t ³ Δt ஆக மாறிவிடும்.

நாம் 2xdx என்ற வெளிப்பாட்டை எடுத்துக் கொண்டால், அது எந்த வாதத்திற்கான y = x ² ஐ குறிக்கிறது. உண்மையில், x = t ^{2 க்கு} dx = 2ttt ஐப் பெறுவோம்.

எனவே 2xdx = 2t ² 2ttt = 4t ³ Δt, அதாவது இரண்டு வெவ்வேறு மாறிகள் மூலம் எழுதப்பட்ட வேறுபாடுகளுக்கான வெளிப்பாடுகள்.

வேறுபாடுகளை மாற்றுவதன் மூலம் மாற்றுதல்

F '(x) ≠ 0 என்றால், Δy மற்றும் dy சமமானவை (Δx → 0 க்கு); F '(x) = 0 (அதாவது dy = 0), அவை சமமானவை அல்ல.

எடுத்துக்காட்டாக, y = x ² , பின்னர் Δу = (x + Δх) ² ─ x ² = 2xΔх + Δх ² , மற்றும் dy = 2x டிஹெச். X = 3 எனில், Δy = 6 Dx + Δx + Δx ² மற்றும் dy = 6 Dx ஆகியவை உள்ளன, அவை Δx ² → 0 க்கு சமமானவை, x = 0 இல் மதிப்புகள் Δy = Δx ² மற்றும் dy = 0 சமமானவை அல்ல.

இந்த உண்மை, வேறுபாட்டின் எளிய கட்டமைப்போடு (அதாவது, Δx ஐப் பொறுத்தவரை நேர்மறையானது), பெரும்பாலும் Δy ≈ dy சிறிய Δx க்கு அனுமானத்தின் கீழ் தோராயமான கணக்கீடுகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு சார்பின் வித்தியாசத்தை கண்டுபிடிப்பது, சம்பள உயர்வின் சரியான மதிப்பைக் கணக்கிடுவதை விட எளிதானது.

உதாரணமாக, ஒரு விளிம்பு x = 10.00 செ.மீ. கொண்ட உலோக கன சதுரம் வெப்பம் கொண்ட போது, Δx = 0.001 செ.மீ. நீளத்தின் விளிம்பில் உள்ளது. நமக்கு V = x ² , அதனால் dV = 3x ² Δх = 3 ∙ 10 ² ∙ 0/01 = 3 (செ.மீ ³ ). தொகுதி ΔV இன் அதிகரிப்பு வேறுபட்ட DV க்கு சமம், எனவே ΔV = 3 செ.மீ ³ . ஒரு முழு கணக்கீடு ΔV = 10.01 ³ ─ 10 ³ = 3.003001. ஆனால் இதன் விளைவாக, முதலில் தவிர அனைத்து புள்ளிவிவரங்களும் நம்பமுடியாதவை; பின்னர், எப்படியும், நீங்கள் அதை 3 செ.மீ. ³ க்கு சுற்ற வேண்டும்.

அறிமுகப்படுத்தப்படும் பிழையின் அளவை மதிப்பிடுவது சாத்தியமானால் மட்டுமே, அத்தகைய அணுகுமுறை பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

செயல்பாடு வேறுபாடு: உதாரணங்கள்

Y = x ³ சார்பின் வகையை கண்டுபிடிப்போம், ஒரு derivative ஐக் கண்டுபிடிக்காமல். வாதம் ஒரு அதிகரிப்பை தருவதோடு, Δy ஐ வரையறுக்கவும்.

Δу = (Δх + x) ³ ─ x ³ = 3x ² Δх + (3x ^{2 2} + Δх ³ ).

இங்கே குணகம் A = 3x ² என்பது Δx ஐ சார்ந்து இல்லை, எனவே முதல் சொல் Δx க்கு நேர் விகிதமாகும், மற்ற காலமானது 3xDx ² + Δx ³ Δx → 0 போது, வாதத்தின் அதிகரிப்பதை விட வேகமாக இது குறைகிறது. ஆகவே, 3x ² Δx எனும் சொல்லானது வேறுபாடு y = x ^3:

Dy = 3x2 Δx = 3x2 dx அல்லது d (x3) = 3x2 dx.

இந்த வழக்கில், d (x ³ ) / dx = 3x ^2.

நாம் இப்போது y = 1 / x சார்பின் சார்பின் dy காணலாம். பின்னர் d (1 / x) / dx = ─1 / x ² . எனவே, dy = ─ Δx / x ² .

அடிப்படை இயற்கணித சார்பின் வேறுபாடுகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி தோராயமான கணிப்பு

X = a = f (x), மற்றும் அதன் derivative f '(x) ஆகியவற்றை கணக்கிடுவது கடினம் அல்ல, ஆனால் x = a = பின்னர் ஒரு தோராயமான வெளிப்பாடு மீட்புக்கு வருகிறது

F (a + Δx) ≈ f '(a) Δx + f (a).

அதன் வேறுபாடு f '(a) Δx மூலம் சிறிய அளவிலான Δx க்கான சார்பின் தோராய மதிப்பை இது வழங்குகிறது.

இதன் விளைவாக, இந்த சூத்திரம், இந்த பகுதியின் தொடக்க புள்ளியில் (x = a) தொடக்க மதிப்பில் அதன் மதிப்பின் அளவு மற்றும் அதே தொடக்கத்தில் வேறுபட்டது என நீளத்தின் Δx பகுதியின் இறுதிப் புள்ளியில் உள்ள சார்பின் தோராயமான வெளிப்பாட்டை அளிக்கிறது. செயல்பாட்டின் மதிப்பைத் தீர்மானிக்கும் விதத்தில் உள்ள பிழை கீழே உள்ள படத்தில் விளக்கப்பட்டுள்ளது.

எவ்வாறாயினும், x = a + Δx இன் சார்பின் மதிப்பிற்கான ஒரு சரியான வெளிப்பாடு, வரையறுக்கப்பட்ட அதிகரிப்புகளின் சூத்திரத்தால் கொடுக்கப்பட்ட (அல்லது, வேறுவிதமாக கூறினால், லாக்ரேஞ் சூத்திரத்தால்)

F (a + Δx) ≈ f '(ξ) Δx + f (a),

X = a + ξ என்பது x = a + Δx லிருந்து x = a + ξ என்பது, அதன் சரியான நிலை தெரியவில்லை என்றாலும், புள்ளி துல்லியமான சூத்திரம் தோராயமான சூத்திரத்தின் பிழை மதிப்பிடுவதை சாத்தியமாக்குகிறது. எவ்வாறாயினும், லாங்கிரியன் சூத்திரத்தில் நாம் ξ = Δx / 2 ஐ அமைத்திருந்தாலும், அது சரியாக இருக்காது என்றாலும், வழக்கமாக வேறுபாட்டின் அடிப்படையில் அசல் வெளிப்பாட்டைவிட இது மிகவும் சிறந்த தோராயத்தை தருகிறது.

வித்தியாசத்தைப் பயன்படுத்தி சூத்திரங்களின் பிழை பற்றிய மதிப்பீடு

அளவிடும் கருவிகள் கொள்கை தவறானவை, மற்றும் அளவீட்டு தரவு பிழைகள் அறிமுகம். அவர்கள் முழுமையான மதிப்பை (அல்லது அதற்கு சமமானவர்) நிச்சயமாக இந்த பிழையை மீறுவதால், இறுதிப் பிழையான பிழையான பிழையான பிழையான பிழையான பிழையான பிழையானது அல்லது சுருக்கமாகக் குறிக்கும். அளவிடப்பட்ட மதிப்பின் முழு மதிப்பு மூலம் அதன் பிரிவின் எண்ணிக்கையை வரையறுக்கும் உறவினர் பிழை .

Y = f (x), y இன் மதிப்பை கணக்கிட பயன்படும், ஆனால் x இன் மதிப்பானது அளவீட்டின் விளைவாகும், எனவே y இன் பிழை அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது. பின்னர், வரம்புக்குரிய முழுமையான பிழையைப் பார்க்கும் பொருட்டு, y இன் சார்பில், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்

│ Δ Δ Δ │ │ f f f (x)

எங்கே │ டி x = வாதம் வரம்புக்குட்பட்ட பிழை. ΔΔy நுணுக்கங்களின் மதிப்பு மேல்நோக்கி வட்டமிட வேண்டும். வித்தியாசத்தை கணக்கிடுவதன் மூலம் அதிகரிக்கும் கணக்கீட்டை மாற்றுதல் தவறானது.