நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள். நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒத்திசைவான அமைப்புகள்

மீண்டும் பள்ளியில், ஒவ்வொருவரும் சமன்பாடுகள் மற்றும் அநேகமாக, ஒரு சமன்பாடுகளின் முறைமையைப் படித்தோம். ஆனால் அவற்றை தீர்க்க பல வழிகள் உள்ளன என்று பலர் அறிந்திருக்கவில்லை. இன்றைய தினம் நாம் இரண்டு முறைகளை விட அதிகமான நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் முறைமையை தீர்க்க அனைத்து முறைகளையும் விவாதிப்போம்.

கதை

இன்றைய தினம், சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் அமைப்புகள் தீர்க்கும் கலை பண்டைய பாபிலோன் மற்றும் எகிப்தில் தோன்றியது என்று அறியப்படுகிறது. இருப்பினும், எங்களுக்கு அவர்களின் வழக்கமான வடிவத்தில் சமத்துவம் சமத்துவம் "=" என்ற அடையாளத்தின் தோற்றத்தை வெளிப்படுத்தியது, இது 1556 ஆம் ஆண்டில் ஆங்கில கணிதவியலாளர் ரெக்கார்ட் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. மூலம், இந்த அறிகுறி ஒரு காரணத்திற்காக தேர்வு செய்யப்பட்டது: இது இரண்டு இணை சமமான பிரிவுகளாகும். சமத்துவத்தின் சிறந்த உதாரணம் கற்பனை செய்ய முடியாதது உண்மைதான்.

அறியப்படாத மற்றும் டிகிரி அறிகுறிகள் நவீன எழுத்துக்கள் பெயர்கள் நிறுவனர் பிரஞ்சு கணித Francois Viet உள்ளது. இருப்பினும், அதன் பதவிகள் இன்றைய தினம் குறிப்பிடத்தக்க அளவு வேறுபடுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, அறியப்படாத எண்களின் சதுரம் Q (லத்தீன் "க்வாட்ராஸ்"), மற்றும் சி (லத்தின் "க்யூப்ஸ்") கடிதம் ஆகியவற்றைக் குறிக்கும். இந்த பெயர்கள் இப்போது சங்கடமானதாகவே தோன்றுகின்றன, ஆனால் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளை எழுத மிகவும் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய வழியாகும்.

இருப்பினும், தீர்வுகளின் வழிமுறைகளின் தீமை என்பது கணிதவியலாளர்கள் மட்டுமே சாதகமான வேர்கள் என்று கருதப்பட்டது. எதிர்மறை மதிப்புகளுக்கு நடைமுறை பயன்பாடு கிடையாது என்ற உண்மையின் காரணமாக இருக்கலாம். எவ்வாறாயினும், 16 ஆம் நூற்றாண்டில் இத்தாலிய கணிதவியலாளர்கள் நிக்கோலோ டார்ட்டாகியா, ஜெரோலமோ கார்டானோ மற்றும் ரபேல் பாம்பெலி ஆகியோர் எதிர்மறையான வேர்களைக் கருத்தில் கொண்டனர். ஒரு நவீன வடிவம், இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் முக்கிய வழிமுறை (பாகுபாடு மூலம்) 17 ஆம் நூற்றாண்டில் டெஸ்கார்ட்ஸ் மற்றும் நியூட்டனின் படைப்புகளுக்கு நன்றி மட்டுமே உருவாக்கப்பட்டது.

18 ஆம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதியில், சுவிஸ் கணித மேதை கேப்ரியல் கிராமர் நேரியல் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளை எளிதாக்க ஒரு புதிய வழியைக் கண்டுபிடித்தார். இந்த முறை பின்னர் அவரை பெயரிடப்பட்டது மற்றும் இன்று நாம் அதை பயன்படுத்தி வருகிறோம். ஆனால் சிறிது நேரம் கழித்து நாம் கிராமர் முறையைப் பற்றிப் பேசுவோம், ஆனால் இப்போது, நாம் முறையாக சமன்பாடுகள் மற்றும் வழிமுறைகளை விவாதிக்கும் வகையில் அமைப்பிலிருந்து விலகிக்கொள்ளலாம்.

நேரியல் சமன்பாடுகள்

நேரியல் சமன்பாடுகள் ஒரு மாறி (கள்) கொண்ட எளிய சமன்பாடுகள். அவை இயற்கணிதமாக வகைப்படுத்தப்படுகின்றன. நேரியல் சமன்பாடுகள் பின்வருமாறு பொது வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளன: ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... a _n * x _n = b. இந்த வடிவத்தில் அவற்றின் பிரதிநிதித்துவம் மேலும் அமைப்புகள் மற்றும் மாட்ரிக்ஸ்கள் தொகுக்கப்பட வேண்டும்.

நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்

இந்த கால வரையறை: இது பொதுவான அறியப்படாத அளவீடுகள் மற்றும் ஒரு பொதுவான தீர்வின் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு ஆகும். ஒரு விதியாக, பள்ளியில், ஒவ்வொன்றும் இரண்டு அல்லது மூன்று சமன்பாடுகளைக் கொண்ட அமைப்புகளால் தீர்க்கப்பட்டது. ஆனால் நான்கு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கூறுகளை கொண்ட அமைப்புகள் உள்ளன. எதிர்காலத்தில் இது தீர்க்க வசதியாக இருந்தது அதனால் அவற்றை எழுதி எப்படி முதலில் பார்க்கலாம். முதலாவதாக, அனைத்து மாறிகளும் x இன் குறியீடாக தொடர்புடைய குறியீடாக எழுதப்பட்டால் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள் சிறப்பாக இருக்கும்: 1,2,3 மற்றும் பல. இரண்டாவதாக, அனைத்து சமன்பாடுகளையும் நியமன வடிவத்திற்கு கொண்டுவர வேண்டும்: ₁ * x ₁ + a _{2 *} x ₂ + ... a _n * x _n = b.

இந்த செயல்களுக்குப் பிறகு, நேரியல் சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளுக்கு எவ்வாறு தீர்வு காணலாம் என்று சொல்லத் தொடங்கலாம். இதற்கு மிக மேட்ரிக்ஸ் வேண்டும்.

அணி

ஒரு அணி என்பது வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளைக் கொண்ட அட்டவணையாகும், அவற்றின் வெட்டும் நிலையில் அதன் கூறுகள் உள்ளன. இது குறிப்பிட்ட மதிப்புகள் அல்லது மாறிகள். பெரும்பாலும், உறுப்புகளை குறிக்க, அவை சந்தாக்களுக்கு கீழே வைக்கப்படுகின்றன (உதாரணமாக, ₁₁ அல்லது ₂₃ ). முதல் குறியீடானது வரிசை எண், மற்றும் இரண்டாவது நெடுவரிசை. மேட்ரிக்ஸிற்கு மேல், அதே போல் வேறு எந்த கணித உறுப்புக்கும் மேல், நீங்கள் பல்வேறு செயல்களைச் செய்யலாம். இவ்வாறு, நீங்கள்:

1) கழித்து, அதே அளவு அட்டவணையைச் சேர்க்கவும்.

2) ஒரு எண் அல்லது திசையன் மூலம் அணி பெருக்கலாம்.

3) மாற்றம்: வரிசைகளின் வரிசைகளை நெடுவரிசைகளாகவும், நெடுவரிசைகளாகவும் மாற்றவும்.

4) மடங்குகளை பெருக்கினால், அவற்றில் ஒன்றுகளின் வரிசைகள் மற்றின் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருக்கும்.

இந்த நுட்பங்களை நாம் இன்னும் விரிவாக விவாதிப்போம், ஏனென்றால் அவை எதிர்காலத்தில் நமக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும். கழித்தல் மற்றும் மாட்ரிட்ஜ்கள் கூடுதலாக உள்ளது. அதே அளவின் மாட்ரிஸை நாங்கள் எடுத்துக்கொள்கிறோம், ஒரு அட்டவணை ஒவ்வொரு உறுப்பு மற்ற ஒவ்வொரு உறுப்பு ஒத்துள்ளது. எனவே நாம் இந்த இரண்டு உறுப்புகளையும் (கழித்து) சேர்க்கிறோம் (அவற்றின் மாட்ஸிகளில் ஒரே இடங்களில் நிற்க வேண்டியது அவசியம்). ஒரு மேட்ரிக்ஸை ஒரு எண் அல்லது திசையன் மூலம் பெருக்கியபோது, அந்த எண் (அல்லது திசையன்) மூலம் மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு உறுப்புகளையும் பெருக்கிடுங்கள். மாற்றம் மிகவும் சுவாரஸ்யமான செயலாகும். உதாரணமாக, ஒரு மாத்திரை அல்லது தொலைபேசியின் திசைமாற்றத்தை மாற்றும் போது, அது நிஜ வாழ்க்கையில் பார்க்க மிகவும் சுவாரஸ்யமானது. டெஸ்க்டாப்பில் உள்ள சின்னங்கள் ஒரு அணி, மற்றும் நிலை மாற்றங்கள் போது, அது பரந்த மற்றும் பரவலாக, ஆனால் உயரம் குறைகிறது.

மேட்ரிக்ஸின் பெருக்கம் என இன்னொரு செயல்முறையை ஆய்வு செய்வோம் . அது கைக்குள் வரவில்லை என்றாலும், அது இன்னும் தெரிந்து கொள்வது பயனுள்ளதாக இருக்கும். ஒரு அட்டவணையின் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கையானது மற்ற வரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே இரண்டு மாட்ரிகளை பெருக்கவும். இப்போது நாம் ஒரு மேட்ரிக்ஸின் வரிசையின் உறுப்புகளையும் மற்றொன்று தொடர்புடைய பத்தியின் உறுப்புகளையும் எடுத்துக்கொள்கிறோம். அவற்றை ஒன்றுக்கொன்று பெருக்கவும், பின்னர் அவற்றைச் சேர்க்கவும் (அதாவது, எ.கா. ₁₁ , _{12 ஆகியவற்றின் 12,} மற்றும் _{22 ஆகிய} உறுப்புகளின் பொருள்: ₁₁ * பி ₁₂ + _{12 12} பி). எனவே, அட்டவணை ஒரு உறுப்பு பெறப்படுகிறது, அதே முறை மேலும் நிரப்பப்பட்ட.

இப்போது நேரியல் சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை நாம் சிந்திக்கத் தொடங்கலாம்.

காஸ் முறை

இந்த தலைப்பு பள்ளியில் நடைபெறுகிறது. ஒரு "இருமுறை நேரியல் சமன்பாடுகளின்" கருத்தை நன்கு அறிந்திருக்கிறோம், அவற்றைத் தீர்க்க முடியும். ஆனால் சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை இரண்டுக்கும் அதிகமாக இருந்தால் என்ன செய்வது? காஸ் முறை இதை நமக்கு உதவுகிறது .

நிச்சயமாக, நாம் ஒரு முறையை கணினியில் இருந்து செய்தால், இந்த முறையைப் பயன்படுத்த வசதியாக இருக்கும். ஆனால் நீங்கள் அதை மாற்ற முடியாது மற்றும் அதன் தூய வடிவில் அதை தீர்க்க முடியாது.

எனவே நேரியல் காஸ் சமன்பாடுகளின் முறை இந்த முறையை எவ்வாறு தீர்க்கிறது? வழியில், இந்த முறை அவரை பெயரிடப்பட்டது என்றாலும், ஆனால் அது பண்டைய காலத்தில் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. காஸ் பின்வருமாறு அறிவுறுத்துகிறது: சமன்பாடுகளுடன் செயல்படுவதற்கு, இறுதியில் ஒட்டுமொத்த மதிப்பையும் ஒரு படி வடிவம் போல வழிநடத்துகிறது. அதாவது, முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து இறுதி வரை (ஒழுங்காக ஏற்பாடு செய்யப்பட்டால்) கடைசியில் ஒரு அறியப்படாத அளவிற்கு குறைக்க வேண்டும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நாம் மூன்று சமன்பாடுகளை, அதாவது, மூன்று சமன்பாடுகளை எடுத்துக் கொள்வோம். மூன்றாம் - இரண்டு, இரண்டு - இரண்டாவது, மூன்றாம் - ஒன்று. கடைசி சமன்பாட்டிலிருந்து முதல் தெரியாததைக் கண்டறிந்து, இரண்டாவது அல்லது முதல் சமன்பாட்டில் அதன் மதிப்பை மாற்றவும், பின்னர் மீதமுள்ள இரண்டு மாறிகள் கண்டுபிடிக்கவும்.

கிரமரின் முறை

இந்த முறையை மார்க்கெட்டிங் செய்வதற்கு, கூடுதலாக, மாட்ரிக்ஸின் கழித்தல் மற்றும் தத்துவங்களைக் கண்டறிவது ஆகியவற்றைக் கொண்டிருப்பது மிகவும் முக்கியம். எனவே, நீங்கள் அதை மோசமாக செய்தால் அல்லது எப்படி என்று தெரியாவிட்டால், நீங்கள் கற்றுக்கொள்ளவும் நடைமுறைப்படுத்தவும் வேண்டும்.

இந்த முறைமையின் சாராம்சம் என்ன, மற்றும் அதை எப்படி ஏற்படுத்துவது என்பது நேரியல் க்ரேமர் சமன்பாடுகள் பெறப்பட்டதா? இது மிகவும் எளிது. நாம் நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒரு முறைமை (கிட்டத்தட்ட எப்போதும்) குணகங்களின் ஒரு அணி அமைக்க வேண்டும். இதை செய்ய, தெரியாதவர்களின் முன் எண்களை எடுத்து, அவர்கள் அமைப்பில் எழுதப்பட்ட வரிசையில் அட்டவணையில் வைக்கவும். எண் முன் ஒரு "-" கையெழுத்து இருந்தால், ஒரு எதிர்மறை குணகம் எழுதவும். எனவே, நாம் குறியீட்டின் முதலாவது அணிவரிசைகளை அறியாமலேயே தொகுத்தோம். சமமான அறிகுறிகள் (எண்களின் சமன்பாடு, நியதி வடிவத்திற்கு மட்டுமல்லாமல், வலது பக்கம் வலதுபுறம் எண்ணைக் கொண்டிருக்கும் போது இடதுபுறமும் இடதுபுறம் உள்ள கோணங்களைக் கொண்டது) இயல்பானது. பின்னர் நாம் இன்னும் பல மாறியங்களை உருவாக்க வேண்டும், ஒவ்வொன்றிலும் ஒன்று. இதை செய்ய, முதல் மேட்ரிக்ஸை பதிலாக, ஒவ்வொரு அத்தியாயத்தையும் சமமான குறியீட்டுக்குப் பின் எண்களின் நெடுவரிசைகளின் குணகங்களுடன் மாற்றவும். எனவே நாம் பல துணுக்குகளை பெறலாம், பின்னர் அவர்களின் தீர்மானங்களைக் கண்டறியலாம்.

தீர்மானங்களை கண்டறிந்த பிறகு, அது ஒரு சிறிய விஷயம். நாம் ஒரு ஆரம்ப அணி, மற்றும் பல்வேறு மாறிகள் தொடர்புடைய பல்வேறு மாறிகள் உள்ளன. கணினி தீர்வைப் பெறுவதற்கு, ஆரம்ப அட்டவணையை நிர்ணயிக்கப்பட்ட அட்டவணையை நிர்ணயிப்பதில் நாம் பிரிக்கலாம். இதன் விளைவாக எண் மாறிகள் ஒரு மதிப்பு. இதேபோல், நாம் அறியப்படாத அனைத்தையும் காணலாம்.

பிற முறைகள்

நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரு தீர்வு பெறுவதற்கான பல முறைகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, காஸ்-ஜோர்டான் முறை என்று அழைக்கப்படுபவர், இருபடி சமன்பாடுகளுக்கு ஒரு தீர்வுக்கான தீர்வைப் பயன்படுத்துவதற்குப் பயன்படுத்தப்படுவது, மாட்ஸின் பயன்பாடு தொடர்பானது. நேரியல் இயற்கணித சமன்பாடுகளின் ஒரு முறையைத் தீர்க்க ஜாகோபி முறையும் உள்ளது. இது கணினிக்கு மிகவும் பொருந்தக்கூடியது மற்றும் கணினி தொழில்நுட்பத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

சிக்கலான வழக்குகள்

சமன்பாடுகளின் எண்ணிக்கை மாறிகள் எண்ணிக்கை குறைவாக இருந்தால் சிக்கலானது பொதுவாக எழுகிறது. பின்னர், சில முறைமைக்கு இணங்க இயலாது (அதாவது வேர்கள் இல்லை) அல்லது தீர்வுகளின் எண்ணிக்கை முடிவற்றதாக இருக்கும் என்று சிலர் கூறலாம். நாம் இரண்டாவது வழக்கு இருந்தால், நாம் நேரியல் சமன்பாடுகள் கணினியின் பொதுவான தீர்வு எழுத வேண்டும். அதில் குறைந்தது ஒரு மாறி இருக்கும்.

முடிவுக்கு

எனவே நாம் முடிவுக்கு வந்தோம். நாம் சுருக்கவும்: ஒரு முறைமை மற்றும் மேட்ரிக்ஸ் என்ன என்பதை ஆய்வு செய்துள்ளோம், மேலும் நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரு முறையின் பொது தீர்வை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்போம் என்று கற்றுக் கொண்டோம். கூடுதலாக, நாங்கள் மற்ற விருப்பங்களைக் கருதினோம். லேசான சமன்பாடுகள் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன என்பதை நாம் கண்டோம்: காஸ் முறை மற்றும் கிராமர் முறை. நாங்கள் சிக்கலான வழக்குகள் மற்றும் தீர்வுகளை கண்டறிவதற்கான மற்ற வழிகளைப் பற்றி பேசினோம்.

உண்மையில், இந்த தலைப்பு மிகவும் விரிவானது, மேலும் நீங்கள் அதை புரிந்து கொள்ள விரும்பினால், மேலும் சிறப்புப் பிரசுரத்தை வாசிப்பதை பரிந்துரைக்கிறோம்.